填空题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
一x
2
2
+2ax
1
，x
3
+4x
2
，x
3
的负惯性指数为1，则a的取值范围是 1。
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：[一2，2]
【答案解析】解析：对f配方，可得 f=(x
1
+ax
3
)
2
一(x
2
—2x
3
)
2
+(4一a
2
)x
3
2
于是f可经可逆线性变换
化成标准形 f=z
1
2
一z
2
2
+(4一a
2
)z
3
2
若4一a
2
＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意； 若4一a
2
≥0，则f的负惯性指数为1． 因此，当且仅当4一a
2
≥0，即|a|≤2时，f的负惯性指数为1． f的矩阵为
A的特征多项式为
设A的特征值为λ
1
，λ
2
，λ
3
，则f经正交变换可化成标准形 f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
λ
1
，λ
2
，λ
3
中为负的个数即，的负惯性指数，且由特征值的性质知 λ
1
λ
2
λ
3
=det(A)=4一a
2
。 由于f既可取到正值、又可取到负值，所以λ
1
，λ
2
，λ
3
中至少有一个为正的，也至少有一个为负的。 λ
1
，λ
2
，λ
3
的符号只有下列3种可能： (1)λ
1
λ
2
λ
3
=0，此时有λ
3
=0，λ
1,2
=
化成标准形 f=z
1
2
一z
2
2
+(4一a
2
)z
3
2
若4一a
2
＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意； 若4一a
2
≥0，则f的负惯性指数为1． 因此，当且仅当4一a
2
≥0，即|a|≤2时，f的负惯性指数为1． f的矩阵为
A的特征多项式为
设A的特征值为λ
1
，λ
2
，λ
3
，则f经正交变换可化成标准形 f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
λ
1
，λ
2
，λ
3
中为负的个数即，的负惯性指数，且由特征值的性质知 λ
1
λ
2
λ
3
=det(A)=4一a
2
。 由于f既可取到正值、又可取到负值，所以λ
1
，λ
2
，λ
3
中至少有一个为正的，也至少有一个为负的。 λ
1
，λ
2
，λ
3
的符号只有下列3种可能： (1)λ
1
λ
2
λ
3
=0，此时有λ
3
=0，λ
1,2
=