解答题
设φ，ψ具有二阶导数，L为平面上任一条分段光滑的曲线，平面曲线积分
I=∫L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2-2xφ(y)]dy
与路径无关．
I=∫L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2-2xφ(y)]dy
与路径无关．
问答题
当φ(0)=-2，ψ(0)=1时，求φ(x)，ψ(x)；
【正确答案】
【答案解析】曲线积分与路径无关
，即
2xφ'(y)+2ψ'(y)=2xψ(y)+2y2-2φ(y)， (*)
令
x=0
ψ'(y)+φ(y)=y2， (1)
代入式(*)得
φ'(y)=ψ(y)， (2)
φ"(y)=ψ'(y)， (3)
将式(3)代入式(1)得φ"(y)+φ(y)=y2．
解此常系数非齐次微分方程，得通解为
φ(y)=c1cosy+c2siny+y2-2，
令y=0，得
，则
φ'(y)=c2cosy+2y，
令y=0，φ'(0)=c2=ψ(0)=1
，即2xφ'(y)+2ψ'(y)=2xψ(y)+2y2-2φ(y)， (*)
令
x=0
ψ'(y)+φ(y)=y2， (1)代入式(*)得
φ'(y)=ψ(y)， (2)
φ"(y)=ψ'(y)， (3)
将式(3)代入式(1)得φ"(y)+φ(y)=y2．
解此常系数非齐次微分方程，得通解为
φ(y)=c1cosy+c2siny+y2-2，
令y=0，得
，则φ'(y)=c2cosy+2y，
令y=0，φ'(0)=c2=ψ(0)=1
问答题
设L是从O(0，0)到
【正确答案】
【答案解析】由于曲线积分与路径无关，取下图积分路径，则
由上一小题知
代入上式，得
由上一小题知
代入上式，得