解答题
24.[2002年] 已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，
f(x)=1，且满足
f(x)=1，且满足
【正确答案】 先求出
的表示式，由极限的唯一性建立关于f(x)的微分方程，解之即可求得f(x)．
设y=
，则lny=
,因
=x[lnyf(x)]＇
故
=x[lnf(x)]＇，即
=ex[lnf(x)]＇
由题设和极限的唯一性得到ex[lnf(x)]＇=e1/x，则x[lnf(x)]＇=1／x，即[lnf(x)]＇一1／x2．两边积分得到f(x)=Ce-1/x．由
的表示式，由极限的唯一性建立关于f(x)的微分方程，解之即可求得f(x)．设y=
，则lny=,因=x[lnyf(x)]＇故
=x[lnf(x)]＇，即=ex[lnf(x)]＇由题设和极限的唯一性得到ex[lnf(x)]＇=e1/x，则x[lnf(x)]＇=1／x，即[lnf(x)]＇一1／x2．两边积分得到f(x)=Ce-1/x．由
【答案解析】