【正确答案】正确答案：设u=e ^x cosy，则z=f(u)=f(e ^x cosy)，分别对x，y求导得 =f"(u)e ^2x cos ² y+f'(u)e ^x cosy， =f"(u)e ^2x sin ² y－f'(u)e ^x cosy， 则 =f"(u)e ^2x =f"(e ^x cosy)e ^2x 。 由已知条件 =(4z+e ^x cosy)e ^2x ，可知f"(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。 对应齐次方程的通解为 f(u)=C ₁ e ^2u +C ₂ e ^－2u ，其中C ₁ ，C ₂ 为任意常数。 设非齐次方程的特解为y ^* =ax+b，代入可得a=－1／4，b=0。 对应非齐次方程特解为y ^* =－1／4u。故非齐次方程通解为f(u)=C ₁ e ^2u +C ₂ e ^－2u － u。 将初始条件f(0)=0，f'(0)=0代入，可得C ₁ =1／16，C ₂ =－1／16，所以f(u)的表达式为