解答题
19.[2002年] 设0＜x1＜3，xn+1=
【正确答案】对于含递推项的极限存在性的证明，常用命题1．1．4．1证之．
证 只需证数列{xn}单调有界．由题设0＜x1＜3知x1，3－x1均为正数，故
0＜x2=
≤(x1+3一x1)／2=3／2．
下面进行数学归纳得到一般结论．设当k＞1时，0＜xk≤3／2，则
0＜xk+1=
≤(xk+3一xk)／2=3／2．
由数学归纳法知，对任意正整数n＞1，均有0＜xn＜3／2，即数列{xn}有上界．只需证数列单调增加．为此证n＞l时，有
xn+1－xn=
=
(因为xn≤3／2)
(或证当n≥l时，
=1).
因而有xn+1≥xn(n≥1)，即数列{xn}单调增加，这就证明了数列{xn}的极限存在．
设
xn=a，在xn+1=
两边取极限，得a=
由此解得a=3／2.
a=0(舍去)，故
证 只需证数列{xn}单调有界．由题设0＜x1＜3知x1，3－x1均为正数，故
0＜x2=
≤(x1+3一x1)／2=3／2．下面进行数学归纳得到一般结论．设当k＞1时，0＜xk≤3／2，则
0＜xk+1=
≤(xk+3一xk)／2=3／2．由数学归纳法知，对任意正整数n＞1，均有0＜xn＜3／2，即数列{xn}有上界．只需证数列单调增加．为此证n＞l时，有
xn+1－xn=
=
(因为xn≤3／2)(或证当n≥l时，
=1).因而有xn+1≥xn(n≥1)，即数列{xn}单调增加，这就证明了数列{xn}的极限存在．
设
xn=a，在xn+1=两边取极限，得a=由此解得a=3／2.a=0(舍去)，故
【答案解析】