解答题
设n阶矩阵
问答题
18.求A的特征值和特征向量；
【正确答案】
令f(x)=x+1—b，则f(B)=B+(1—b)E．如能求出B的特征值，则f(B)=B+(1—b)E的特征值即可求出．事实上，因秩（B）=1，知，B的特征值为λ1=b+b+…+b=nb，λ2=λ3=…=λn=0，故f（B）即A=B+(1—b)E的特征值为
f(λ1)=nb+1—b=(n一1)b+1， f(λ2)=f(λ3)=…=f(λn)=0+1—b=1—b．
下面求A的特征向量．首先求属于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，可知，α1=[1，1，…，1]T为属于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，所以A的属于λ1的全部特征向量为kα1(k为任意非零的常数)．
再求A的属于特征值λ2=λ3=…=λn=1—6的特征向量．为此，求出(λ2E—A)X=0的基础解系．当b≠0时，对λ2E—A施以初等行变换，得到
λ2E—A=
令f(x)=x+1—b，则f(B)=B+(1—b)E．如能求出B的特征值，则f(B)=B+(1—b)E的特征值即可求出．事实上，因秩（B）=1，知，B的特征值为λ1=b+b+…+b=nb，λ2=λ3=…=λn=0，故f（B）即A=B+(1—b)E的特征值为
f(λ1)=nb+1—b=(n一1)b+1， f(λ2)=f(λ3)=…=f(λn)=0+1—b=1—b．
下面求A的特征向量．首先求属于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，可知，α1=[1，1，…，1]T为属于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，所以A的属于λ1的全部特征向量为kα1(k为任意非零的常数)．
再求A的属于特征值λ2=λ3=…=λn=1—6的特征向量．为此，求出(λ2E—A)X=0的基础解系．当b≠0时，对λ2E—A施以初等行变换，得到
λ2E—A=
【答案解析】
问答题
19.求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
【正确答案】(1)当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn．令P=[α1，α2，…，αn]，则
P-1AP=Λ—diag(1+(n一1)b，1—b，…，1—b)．
(2)当b=0时，因A=E，则对任意可逆矩阵P，均有P-1AP=E．
P-1AP=Λ—diag(1+(n一1)b，1—b，…，1—b)．
(2)当b=0时，因A=E，则对任意可逆矩阵P，均有P-1AP=E．
【答案解析】