问答题
设A=(a
ij
)(i，j=1，2，3)为3阶实对称矩阵，λ
1
=-1，λ
2
=1是A的两个特征值．已知|A|=-1，且λ
1
=-1所对应的特征向量为
问答题
求A的主对角线元素之和
【正确答案】
【答案解析】[解] 由于|A|=-1，所以λ
3
=-1÷(-1)÷1=1．
由于
a 11 +a 22 +a 33 =λ 1 +λ 2 +λ 3 ，
所以
a 11 +a 22 +a 33 =1．
由于
a 11 +a 22 +a 33 =λ 1 +λ 2 +λ 3 ，
所以
a 11 +a 22 +a 33 =1．
问答题
求矩阵A．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由于A是实对称矩阵，所以A必能对角化，即必存在可逆矩阵P和对角矩阵A使得
P -1 AP=Λ．
式(1)可化为
A=PΛP -1 ．
不妨取
设P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )，其中α 1 为特征值-1所对应的特征向量．α 2 ，α 3 为特征值1所对应的特征向量且线性无关．题中所给的ξ 1 就可以作为α 1 ，但α 2 ，α 3 未知，需求出α 2 ，α 3 ．
设
，由于实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必正交，所以α
1
，α
2
正交．故有0·x
1
+1·x
2
+1·x
3
=0．只需取满足此关系的任意x
1
，x
2
，x
3
，这里取的是x
1
=1，x
2
=0，x
3
=0．所以
设
，同理有0·x
4
+1·x
5
+1·x
6
=0．这里取x
4
=0，x
5
=1，x
6
=1，所以α
3
=
现P和Λ均有了，即
，还差P
-1
．
P -1 AP=Λ．
式(1)可化为
A=PΛP -1 ．
不妨取
设P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )，其中α 1 为特征值-1所对应的特征向量．α 2 ，α 3 为特征值1所对应的特征向量且线性无关．题中所给的ξ 1 就可以作为α 1 ，但α 2 ，α 3 未知，需求出α 2 ，α 3 ．
设
，由于实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必正交，所以α
1
，α
2
正交．故有0·x
1
+1·x
2
+1·x
3
=0．只需取满足此关系的任意x
1
，x
2
，x
3
，这里取的是x
1
=1，x
2
=0，x
3
=0．所以
设
，同理有0·x
4
+1·x
5
+1·x
6
=0．这里取x
4
=0，x
5
=1，x
6
=1，所以α
3
=
现P和Λ均有了，即
，还差P
-1
．