【答案解析】[证] 因f(0)=0，f(1)=1，又 ，从而 是f(x)的值域[0，1]内的一点．由连续函数的性质知 使 ．分别在区间[0，c]与[c，1]上对f(x)应用拉格朗日中值定理即知： 使得
f(c)-f(0)=f"(ξ)(c-0)=cf"(ξ)， (*)
又 使得
f(1)-f(c)=f"(η)(1-c)=(1-c)f"(η)， (**)
把f(0)=0与f(1)=1以及 代入(*)与(**)，分别得到

从而 [解析] 结论可改写为 ．由于 ，又f(x)连续地从f(0)=0变到f(1)=1，从而存在c∈(0，1)使得 ，结论又可改写为 ，再把f(0)=0与f(1)=1用上，上式就可改写成
这提示我们在使