问答题
设A是n阶可逆矩阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A
-1
的每行元素之和均为
【正确答案】正确答案：(1)将A中各列加到第一列，得
若a=0，则|A|=0，这与A是可逆矩阵矛盾，故a≠0． (2)令A=[α
1
，α
2
，…，α
n
]，A=[β
1
，β
2
，…，β
n
]，E=[e
1
，e
2
，…，e
n
]，由A
-1
A=E，得 A
-1
[α
1
，α
2
，…，α
n
]=[e
1
，e
2
，…，e
n
]， A
-1
α
j
e
j
，j=1，…，n， A
-1
α
1
+A
-1
α
2
+…+A
-1
α
n
=e
1
+e
2
+…+e
n
， A
-1
(α
1
+α
2
+…+α
n
)=
另一方面，
=a(β
1
+β
2
+…+β
n
)． 比较以上两式，可得 a(β
1
+β
2
+…+β
n
)=
．β
1
+β
2
+…+β
n
=
故A
-1
的每行元素之和为
若a=0，则|A|=0，这与A是可逆矩阵矛盾，故a≠0． (2)令A=[α
1
，α
2
，…，α
n
]，A=[β
1
，β
2
，…，β
n
]，E=[e
1
，e
2
，…，e
n
]，由A
-1
A=E，得 A
-1
[α
1
，α
2
，…，α
n
]=[e
1
，e
2
，…，e
n
]， A
-1
α
j
e
j
，j=1，…，n， A
-1
α
1
+A
-1
α
2
+…+A
-1
α
n
=e
1
+e
2
+…+e
n
， A
-1
(α
1
+α
2
+…+α
n
)=
另一方面，
=a(β
1
+β
2
+…+β
n
)． 比较以上两式，可得 a(β
1
+β
2
+…+β
n
)=
．β
1
+β
2
+…+β
n
=
故A
-1
的每行元素之和为
【答案解析】