解答题
5.设x∈(0，1)，证明下面不等式：
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)
【正确答案】(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且
φ'(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ'(0)=0．
当x∈(0，1)时，φ"(x)=
[x一ln(1+x)]＞0。则φ'(x)单调递增．从而φ'(x)＞φ'(0)=0，则φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．
φ'(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ'(0)=0．
当x∈(0，1)时，φ"(x)=
[x一ln(1+x)]＞0。则φ'(x)单调递增．从而φ'(x)＞φ'(0)=0，则φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．【答案解析】