单选题
下列矩阵中A与B合同的是
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] 由合同定义：C
T
AC=B，C可逆．
知合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式|A|与|B|同号．
本题A中的矩阵秩不相等．B中行列式正、负号不同，而排除．
易见C中矩阵A的特征值为1，2，0，而矩阵B的特征值为1，3，0，所以二次型x T Ax与x T Bx有相同的正、负惯性指数，所以A和B合同．
而D中，A的特征值为1，±2，B的特征值为-1，-2，-2，从而x T Ax与x T Bx正、负惯性指数不同而不合同．
知合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式|A|与|B|同号．
本题A中的矩阵秩不相等．B中行列式正、负号不同，而排除．
易见C中矩阵A的特征值为1，2，0，而矩阵B的特征值为1，3，0，所以二次型x T Ax与x T Bx有相同的正、负惯性指数，所以A和B合同．
而D中，A的特征值为1，±2，B的特征值为-1，-2，-2，从而x T Ax与x T Bx正、负惯性指数不同而不合同．