解答题
9.[2018年] 已知常数k≥ln2—1，证明：(x一1)(x—ln2x+2klnx一1)≥0．
【正确答案】 ①当x=1时，不等式成立．
②当0＜x＜1时，只需在x—ln2x+2klnx一1≤0．
设f(x)=x—ln2x+2klnx一1，则有
f′(x)=1—2lnx·
令g(x)=x—2lnx+2k，则g′(x)=l一
＜0，故g(x)单调递减，所以
g(x)＞g(1)=1+2k≥1+2(ln2—1)=2ln2－1＞0，
从而f′(x)＞0，f(x)单调递增，故f(x)≤f(1)=0，结论成立．
③当x＞1时，只需证x－ln2x+2klnx一1≥1．
由②可知，当1＜x＜2时，g′(x)=1－
②当0＜x＜1时，只需在x—ln2x+2klnx一1≤0．
设f(x)=x—ln2x+2klnx一1，则有
f′(x)=1—2lnx·
令g(x)=x—2lnx+2k，则g′(x)=l一
＜0，故g(x)单调递减，所以g(x)＞g(1)=1+2k≥1+2(ln2—1)=2ln2－1＞0，
从而f′(x)＞0，f(x)单调递增，故f(x)≤f(1)=0，结论成立．
③当x＞1时，只需证x－ln2x+2klnx一1≥1．
由②可知，当1＜x＜2时，g′(x)=1－
【答案解析】