解答题
6.设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
【正确答案】(Ⅰ)由Aα
1=α
1得A
2α
1=Aα
1一α
1,进一步
A
3α
1=α
1, A
5α
1=α
1,
故 Bα
1=(A
5一4A
3+E)α
1 =A
5α
1—4A
3α
1+α
1 =α
1一4α
1+α
1 =一2α
1。
从而α
1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。
因B=A
5一4A
3+E,且A的三个特征值λ
1=1,λ
2=2,λ
3=一2,则B的三个特征值为μ
1=一2,μ
2=1,μ
3=1。
设α
2,α
3为B的属于μ
2=μ
3=1的两个线性无关的特征向量,又A为对称矩阵,得B也是对称矩阵,因此α
1与α
2,α
3正交,即
α
1Tα
2=0, α
1Tα
3==0。
所以α
2,α
3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解:

即b的全部特征值的特征向量为:

其中k
1≠0是不为零的任意常数,k
2,k
3是不同时为零的任意常数。
(Ⅱ)令P=(α
1,α
2,α
3)=

,得

【答案解析】