解答题 6.设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
【正确答案】(Ⅰ)由Aα11得A2α1=Aα1一α1,进一步
A3α11, A5α11
故 Bα1=(A5一4A3+E)α1
=A5α1—4A3α11
1一4α11
=一2α1
从而α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。
因B=A5一4A3+E,且A的三个特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,则B的三个特征值为μ1=一2,μ2=1,μ3=1。
设α2,α3为B的属于μ23=1的两个线性无关的特征向量,又A为对称矩阵,得B也是对称矩阵,因此α1与α2,α3正交,即
α1Tα2=0, α1Tα3==0。
所以α2,α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解:

即b的全部特征值的特征向量为:

其中k1≠0是不为零的任意常数,k2,k3是不同时为零的任意常数。
(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3)=,得
【答案解析】