问答题
我们考察一个存在两种洧费品的世界，这两种商品分别是X和Y．它们的价格分别为P
1
和P
2
，在消费者W的生活中，他的收入为m。w具有如下形式的效用函数：
U(X,Y)=(X一X
0
)
a
(Y-Y
0
)
b
其中X
0
，Y
0
都是大于零的常数，参数a,b均大于零。证明：
问答题
W的效用函数等价于：U(X,Y)=rLn(X一X
0
)+(1一r)Ln(Y-Y
0
)；
【正确答案】正确答案：由效用函数的性质知，效用函数的正单调变换依然是表示同一偏好的效用函数，对U(X,Y)=(X-X
0
)
0
(Y-Y
0
)
b
进行正单调变换,等式两边去对数，得： lnU(X,Y)=ln[(X-X
0
)
a
(Y-Y
0
)
b
]=aln(X-X
0
)+bln(Y-Y
0
) 令a=r，b=1一r即可得，lnU(X,Y)=rln(X-X
0
)+(1一r)ln(Y-Y
0
) 因为U(X,Y)等价于lnU(X,Y)，所以W的效用函数等价于： U(X,Y)=rln(X一X
0
)+(1一r)ln(Y-Y
0
)，即得证。
【答案解析】
问答题
假如W的收入m满足m＞PX+PY，根据(1)中新的效用函数，构造Lagrange函数，求W对X和Y的需求函数；
【正确答案】正确答案：由题意，消费者最优化问题如下：
因而,构造的Lagrange函数为：L(X,Y,λ)=rln(X-X
0
)+(1-r)ln(Y-Y
0
)+λ(P
1
X+P
2
Y-m)
因而,构造的Lagrange函数为：L(X,Y,λ)=rln(X-X
0
)+(1-r)ln(Y-Y
0
)+λ(P
1
X+P
2
Y-m)
【答案解析】
问答题
求最优选择情形下的消费者效用，即间接效用函数v(P
1
,P
2
,m)
【正确答案】正确答案：将上题中求得的需求表达式代入直接效用函数即得间接妓用函数为： (P
1
，P
2
,m)=U(X(P
1
,P
2
,m),Y(P
1
,P
2
,m))
【答案解析】
问答题
证明
【正确答案】正确答案：将间接效用函数分别对m和P
1
求偏导,得:
【答案解析】
问答题
证明：间接效用函数v(P
1
，P
2
，m)是关于P
1
、P
2
和m的零次齐次函数。
【正确答案】正确答案：对间接效用函数进行变换，即
【答案解析】