设A为n阶非零实方阵，A
*
是A的伴随矩阵，A
T
是A的转置矩阵，当A
*
=A
T
时，证明｜A｜≠0．
【正确答案】正确答案：由公式AA
T
=｜A｜E，得AA
T
=｜A｜E，若｜A｜=0，则有AA
T
=O，设A的第i个行向量为α
i
(i=1，2，…，，z)，则由AA
T
的第i行第i列处的元素为零，有α
i
T
α
i
=‖α
i
‖=0，(i=1，2，…，n)，即α
i
=0，i=1，2，…，n，于是A=0，这与已知A为非零阵矛盾，故｜A｜≠0．
【答案解析】解析：本题主要考查伴随矩阵的概念和性质．注意A
*
的第i行第j列处元素为A
ij
，伴随矩阵的定义及公式AA
*
=A
*
A=｜A｜E是处理逆矩阵及伴随矩阵有关问题的基本出发点，必须深刻理解、熟练掌握．例如，当｜A｜≠0时，由上述公式可得几个常用的结果：①A
—1
=
；③｜A
*
｜=｜A｜
N—1
(当｜A｜=0时可证明｜A
*
｜=0，故此公式对任何n(n≥2)阶方阵A恒成立)；④(A
*
)
*
=｜A｜
n—2
A(由(A
*
)
—1
=
；③｜A
*
｜=｜A｜
N—1
(当｜A｜=0时可证明｜A
*
｜=0，故此公式对任何n(n≥2)阶方阵A恒成立)；④(A
*
)
*
=｜A｜
n—2
A(由(A
*
)
—1
=