问答题
设α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
为R
n
中的非零向量，方阵A=αα
T
．
问答题
证明：对于正整数m，存在常数t，使A
m
=t
m-1
A，并求出t；
【正确答案】
【答案解析】A
m
=(αα
T
)(αα
T
)…(αα
T
)=α(α
T
α)
m-1
α
T
=(α
T
α)
m-1
(αα
T
)=
，其中t=
，其中t=
问答题
求可逆矩阵P，使P
-1
AP为对角阵A．
【正确答案】
【答案解析】A≠0．A
T
=A，l≤r(A)=r(αα
T
)≤r(α)=1，
r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩，故矩阵A只有一个非零特征值，而有n-1重特征值λ
1
=λ
2
= … =λ
n-1
=0．A的属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a
1
≠0)：
；属于特征值
的特征值为α，令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
…ξ
n-1
α]，则有P
-1
AP=diag(0．0，…，0，
)对角阵．其中，A。的求法可利用特征值的性质：λ
1
+λ
2
+…+λ
n-1
+λ
n
=(A的主对角线元素之和)
r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩，故矩阵A只有一个非零特征值，而有n-1重特征值λ
1
=λ
2
= … =λ
n-1
=0．A的属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a
1
≠0)：
；属于特征值
的特征值为α，令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
…ξ
n-1
α]，则有P
-1
AP=diag(0．0，…，0，
)对角阵．其中，A。的求法可利用特征值的性质：λ
1
+λ
2
+…+λ
n-1
+λ
n
=(A的主对角线元素之和)