【正确答案】

【答案解析】 [考点] 微分方程求解．
[解析] 利用欧拉方程固有的求解方法即可．
解：令x=e ^t ，则 ，即 ．
记 ，则

原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e ^3t ，即
(D ² -4)y=e ^3t ， (*)
方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r ² -4=0，有根r ₁ =2，r ₂ =-2，故齐次方程的通解为

因为f(t)=e ^3t ，λ=3不是特征方程的根，故可令y*=ae ^3t 是方程(*)的一个特解，代入原方程x ² y"+xy"-4y=x ³ 中，解得 ，即 ，因此原方程的通解为

故应填