计算题
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
=1(a＞b＞0)的离心率为
，且点
=1(a＞b＞0)的离心率为，且点
问答题
1.求椭圆C的方程；
【正确答案】由题意知
解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为
解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为【答案解析】
问答题
2.设椭圆E：
=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
(i)求
=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．(i)求
【正确答案】由已知椭圆E的方程为
=1．
(1)设P(x0，y0)，
=λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为
=1，即
=2．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2一16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2①
则有x1+x2=
．因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S=
｜m｜｜x1－x2｜=
=t．
将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2一4=0，由△≥0，可得m2≤1+4k2 ②
由①②可知0＜t≤1，S=
．
当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值
．由(i)知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为
=1．(1)设P(x0，y0)，
=λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为=1，即=2．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2一16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2①
则有x1+x2=
．因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S=｜m｜｜x1－x2｜==t．将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2一4=0，由△≥0，可得m2≤1+4k2 ②
由①②可知0＜t≤1，S=
．当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值
．由(i)知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为【答案解析】