从抛物线y＝χ
2
－1上的任意一点P(t，t
2
－1)引抛物线y＝χ
2
的两条切线，
(Ⅰ)求这两条切线的切线方程；
(Ⅱ)证明该两条切线与抛物线y＝χ
2
所围面积为常数．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ) 抛物线y＝χ
2
在点(χ
0
，χ
0
2
)处的切线方程为 y＝χ
0
2
＋2χ
0
(χ－χ
0
)，即y＝2χ
0
χ－χ
0
2
． 若它通过点P，则 t
2
－1＝2χ
0
t－χ
0
2
，即χ
0
2
－2χ
0
t＋t
2
－1＝0， 解得χ
0
的两个解 χ
1
＝t－1，χ
2
＝t＋1． ① 从而求得从抛物线y＝χ
2
－1的任意一点P(t，t
2
－1)引抛物线y＝χ
2
的两条切线的方程是 L
1
：y＝2χ
1
χ－χ
1
2
；L
2
：y＝2χ
2
χ－χ
2
2
．
(Ⅱ) 这两条切线与抛物线y＝χ
2
所围图形的面积为 S(t)＝
[χ
2
－(2χ
1
χ－χ
1
2
)]dχ＋
[χ
2
－(2χ
2
χ－χ
2
2
)]dχ， 下证S(t)为常数． 求出S(t)．
(Ⅱ) 这两条切线与抛物线y＝χ
2
所围图形的面积为 S(t)＝
[χ
2
－(2χ
1
χ－χ
1
2
)]dχ＋
[χ
2
－(2χ
2
χ－χ
2
2
)]dχ， 下证S(t)为常数． 求出S(t)．
【答案解析】