单选题
6.设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则
(1)若A可逆,则B可逆; (2)若B可逆,则A+B可逆;
(3)若A+B可逆,则AB可逆; (4)A-E恒可逆.
上述命题中,正确的命题共有( )
【正确答案】
D
【答案解析】由AB=A+B,有(A-E)B=A.若A可逆,则
|(A-E)B=|||A-E|×|B|=|A|≠0,
知|B|≠0.即矩阵曰可逆,从而命题(1)正确.
应用命题(1),由曰可逆可得出A可逆,从而AB可逆,那么A+B=AB也可逆,故命题(2)正确.
因为AB=A+B,若A+B可逆,则有AB可逆,即命题(3)正确.
对于命题(4),用分组因式分解,即
AB-A-B+E=E,则有(A-E)(B-E)=E,
所以得A-E恒可逆,命题(4)正确.
所以应选D.