问答题
设有曲面S：
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x
0
，y
0
，z
0
)处的切平面方程． 记S的方程为F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=
一1，则S上点M
0
(x
0
，y
0
，z
0
)处的切平面方程为 F'
x
(M
0
)(x一x
0
)+F'
y
(M
0
)(y—y
0
)+F'(M
0
)(z—z
0
)=0， 其中，F'
x
(M
0
)=x
0
， F'
y
(M
0
)=2y
0
， F'
z
(M
0
)=
z
0
． 该切平面与平面∏平行←→它们的法向量共线即成比例
=λ，且 2x
0
+2y
0
+z
0
+5≠0． 因为M
0
(x
0
，y
0
，z
0
)在S上，所以它满足方程
(2λ)
2
=1， 即4λ
2
=1，λ=±
．于是，(x
0
，y
0
，z
0
)=±(1，
，1)．显然，(x
0
，y
0
，z
0
)不在平面∏上． 相应的切平面方程是
这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程． (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间，故曲面S上切点到平面仃的距离最短或最长
因此，曲面S到平面仃的最短距离为d
2
=
一1，则S上点M
0
(x
0
，y
0
，z
0
)处的切平面方程为 F'
x
(M
0
)(x一x
0
)+F'
y
(M
0
)(y—y
0
)+F'(M
0
)(z—z
0
)=0， 其中，F'
x
(M
0
)=x
0
， F'
y
(M
0
)=2y
0
， F'
z
(M
0
)=
z
0
． 该切平面与平面∏平行←→它们的法向量共线即成比例
=λ，且 2x
0
+2y
0
+z
0
+5≠0． 因为M
0
(x
0
，y
0
，z
0
)在S上，所以它满足方程
(2λ)
2
=1， 即4λ
2
=1，λ=±
．于是，(x
0
，y
0
，z
0
)=±(1，
，1)．显然，(x
0
，y
0
，z
0
)不在平面∏上． 相应的切平面方程是
这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程． (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间，故曲面S上切点到平面仃的距离最短或最长
因此，曲面S到平面仃的最短距离为d
2
=
【答案解析】