设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限
证明：(Ⅰ)设A＜B，则对
∈(A，B)，
证明：(Ⅰ)设A＜B，则对∈(A，B)，
【正确答案】正确答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形． (Ⅰ)由
f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，
X
1
使得f(X
1
)＜μ． 由
f(x)=B＞μ可知，
X
2
＞X
1
使得f(X
2
)＞μ．因f(x)在[X
1
，X
2
]连续，f(X
1
)＜μ＜f(X
2
)，由连续函数介值定理知
∈(X
1
，X
2
)
(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因
，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，
X
1
使得当∈(-∞，X
1
)时f(x)有界；
f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，
X
1
使得f(X
1
)＜μ． 由
f(x)=B＞μ可知，
X
2
＞X
1
使得f(X
2
)＞μ．因f(x)在[X
1
，X
2
]连续，f(X
1
)＜μ＜f(X
2
)，由连续函数介值定理知
∈(X
1
，X
2
)
(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因
，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，
X
1
使得当∈(-∞，X
1
)时f(x)有界；
【答案解析】