单选题 设A是n阶矩阵,(E+A)x=0只有零解,则下列矩阵间乘法不能交换的是 ( )
【正确答案】 D
【答案解析】解析:由于(E+A)x=0只有零解,知r(E+A)=n,所以存在(E+A) -1 且|E+A|≠0. 方法一 因 (A+E)(A—E)=A 2 一E=(A—E)(A+E), (*) 故A+E,A—E可交换,故(A)成立. (*)式两端各左边、右边乘(A+E) -1 ,得 (A—E)(A+E) -1 =(A+E) -1 (A—E), (**) 故(A+E) -1 ,A—E可交换,故(B)成立. (**)式两边乘|A+E|(数),得 (A—E)(A+E) * =(A+E) * (A—E), 故(A+E) * ,A—E可交换,故(C)成立. 由排除法知,应选(D),即(A+E) T ,A~E不能交换. 方法二 (A+E)(A—E)=(A+E)(A+E一2E)=(A+E) 2 一2(A+E) =(A+E一2E)(A+E)=(A—E)(A+E). (A+E) -1 (A—E)=(A+E) -1 (A+E一2E)=(A+E) -1 (A+E)一2(A+E) -1 =(A+E)(A+E) -1 一2(A+E) -1 =(A+E一2E)(A+E) -1 =(A—E)(A+E) -1 . 同理 (A+E) * (A—E)=(A—E)(A+E) * . 故应选(D). 方法三 (D)不成立,可举出反例,如取