单选题
22.设A，B均是n阶非零矩阵，已知A2=A，B2=B，且AB=BA=O，则下列3个说法：
①0未必是A和B的特征值；
②1必是A和B的特征值；
③若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量．
正确说法的个数为
【正确答案】
C
【答案解析】A是n阶非零矩阵，设λ是A的特征值，α是对应的特征向量，则Aα=λα．因为A2=A，于是A2α=Aα，λ2α=λα，(λsup>2一λ)α=0．由于α≠0，故有λ2一λ=0，所以λ=1或0．
又由于A2=A，即(E—A)A=O，且A≠O，所以齐次线性方程组(E—A)x=0有非零解．从而，|E—A|=0，故知λ=1是A的特征值，又因为AB=O，B≠O，所以齐次线性方程组Ax=0有非零解．由此可知，|A|=0，故λ=0也是A的特征值．
同样可证，矩阵B的特征值必是1和0．
由于1是A的特征值，α是对应的特征向量，则有Aα=α．两端左边乘矩阵B，得
Bα=B(Aα)=(BA)α．
因为BA=O，所以 Bα=0=0α．
由此可知，若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量．