问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)=x
T
Ax的正惯性指数为p=1，又矩阵A满足A
2
-2A=3E，求此二次型的规范形并说明理由．
【正确答案】
[解] 设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα=Aα，α≠0．那么(A
2
-2A)α=3α，即有(λ
2
-2λ-3)α=0，即有λ
2
-2λ-3=0，故λ=3或-1．又因正惯性指数p=1，故f的特征值必为3，-1，-1，-1．
所以，二次型的规范形是[*]．
【答案解析】
[分析] 如果已知二次型的正负惯性指数就可得到二次型的规范形．若已知二次型矩阵A的特征值也就可分析其正负惯性指数．
[*]
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