解答题
20.设齐次线性方程组(2E－A)χ＝0有通解χ＝kξ＝k(－1，1，1)T，k是任意常数，其中A是二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ对应的矩阵，且r(A)＝1．
(I)求方程组Aχ＝0的通解．
(Ⅱ)求二次型f(χ1，χ2，χ3)．
(I)求方程组Aχ＝0的通解．
(Ⅱ)求二次型f(χ1，χ2，χ3)．
【正确答案】(Ⅰ)A是二次型的对应矩阵，故AT＝A，由(2E－A)χ＝0有通解χ＝Kξ1＝k(－1，1，1)T，知A有特征值λ1＝2，且A的对应于λ1＝2的线性无关的特征向量为ξ1＝(－1，1，1)T．
由于r(A)＝1，故知λ＝0是A的二重特征值．Aχ＝0的非零解向量即是A的对应于λ＝0的特征向量．
设λ2＝λ3＝0所对应的特征向量为ξ＝(χ1，χ2，χ3)T，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故ξ与ξ1相互正交．
由ξ1Tξ＝－χ1＋χ2＋χ3＝0，解得ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T．
故方程组Aχ＝0的通解为k2ξ2＋k3ξ3，k2，k3为任意常数．
(Ⅱ)求二次型即是求其对应矩阵．
P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝
为可逆矩阵，且P-1＝
则
故二次型为f(χ1，χ2，χ3)＝
由于r(A)＝1，故知λ＝0是A的二重特征值．Aχ＝0的非零解向量即是A的对应于λ＝0的特征向量．
设λ2＝λ3＝0所对应的特征向量为ξ＝(χ1，χ2，χ3)T，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故ξ与ξ1相互正交．
由ξ1Tξ＝－χ1＋χ2＋χ3＝0，解得ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T．
故方程组Aχ＝0的通解为k2ξ2＋k3ξ3，k2，k3为任意常数．
(Ⅱ)求二次型即是求其对应矩阵．
P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝
为可逆矩阵，且P-1＝则
故二次型为f(χ1，χ2，χ3)＝
【答案解析】