问答题
3阶矩阵A的特征值为1，-1，0，对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，α
3
，若B=A
2
-2A+3E，试求B
-1
的特征值和特征向量．
【正确答案】
【答案解析】对于A的特征值λ
i
，有
(i=1，2．3；m=1，2，…)，故Bα
1
=(A
2
-2A+3E)α
1
=A
2
α
1
-2Aα
1
+3α
1
=
=(1
2
-2×1+3)α
1
=2α
1
，类似地有Bα
2
=[(-1)
2
-2×(-1)+3]α
2
=6α
2
，Bα
3
=[0
2
-2xO+3]α
3
=3α
3
因此，B有特征值2，6，3(由B为3阶方阵知这就是B的全部特征值)，对应的线性无关特征向量分别为α
1
，α
2
，α
3
，
｜B｜=2×6×3≠0，故B可逆，再由特征值的性质知B
-1
的全部特征值为
(i=1，2．3；m=1，2，…)，故Bα
1
=(A
2
-2A+3E)α
1
=A
2
α
1
-2Aα
1
+3α
1
=
=(1
2
-2×1+3)α
1
=2α
1
，类似地有Bα
2
=[(-1)
2
-2×(-1)+3]α
2
=6α
2
，Bα
3
=[0
2
-2xO+3]α
3
=3α
3
因此，B有特征值2，6，3(由B为3阶方阵知这就是B的全部特征值)，对应的线性无关特征向量分别为α
1
，α
2
，α
3
，
｜B｜=2×6×3≠0，故B可逆，再由特征值的性质知B
-1
的全部特征值为