解答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．
证明：
证明：
问答题
20.存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。
【正确答案】令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F′(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得
∫abf(x)dx=F(b)－F(a)=F′(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，即f(c)=0．
∫abf(x)dx=F(b)－F(a)=F′(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，即f(c)=0．
【答案解析】
问答题
21.存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)。
【正确答案】令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0，
而h′(x)=ex[f′(x)+f(x)]且ex≠0，所以f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．
而h′(x)=ex[f′(x)+f(x)]且ex≠0，所以f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．
【答案解析】
问答题
22.存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=f(ξ)。
【正确答案】令φ(x)=e－x[f′(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】
问答题
23.存在η∈(a，b)，使得f″(η)－3f′(η)+2f(η)=0。
【正确答案】令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，
由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g′(η1)=g′(η2)=0，
而g′(x)=e－x[f′(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f′(η1)－f(η1)=0，f′(η2)－f(η2)=0．
令φ(x)=e－2x[f′(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，
由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)
由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g′(η1)=g′(η2)=0，
而g′(x)=e－x[f′(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f′(η1)－f(η1)=0，f′(η2)－f(η2)=0．
令φ(x)=e－2x[f′(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，
由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)
【答案解析】