问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，其中0＜a＜b，试证至少存在一点ξ∈(a，b)，使得
alnb-blna=(ab2-ba2)
alnb-blna=(ab2-ba2)
【正确答案】[证明] 等式可改写成
作辅助函数f(x)=
，则f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得
，
即
，
亦即alnb-blna=(ab2-ba2)
作辅助函数f(x)=
，则f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得，即
，亦即alnb-blna=(ab2-ba2)
【答案解析】[解析] 待证的中值等式中含有af(b)-bf(a)这样的项，为找出辅助函数，常先用ab去除等式两端，从而找出两函数值的差．该函数就是要找的辅助函数．本例用ab去除等式两端即得
．
于是辅助函数F(x)=
．于是辅助函数F(x)=