解答题
4.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证：
(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf'(ξ)=0；
(2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f'(η)=0．
(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf'(ξ)=0；
(2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f'(η)=0．
【正确答案】(1)设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ'(ξ)=0，即f(ξ)+ξf'(ξ)=0．
(2)设F(x)=
f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使F'(η)=
(2)设F(x)=
f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使F'(η)=【答案解析】