单选题
设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，则矩阵A-B
2
是①对称阵，②反对称阵，③可逆阵，④正定阵，四个结论中，正确的个数是______
A、
1．
B、
2．
C、
3．
D、
4．
【正确答案】
C
【答案解析】
[解析] 因(A-B
2
)T=A
T
+[(-B)B]
T
=A
T
+(B
T
B)
T
=A
T
+B
T
B=A-B
2
，
故A-B
2
是对称阵，
又任给x≠0，则有
x
T
(A-B2)x=x
T
Ax-x
T
(-B)
T
Bx=x
T
Ax+(Bx)
T
Bx，
A正定，x
T
Ax＞0，(Bx)
T
(Bx)≥0．则x
T
(A-B
2
)x＞0，故A-B
2
是正定阵．
A-B
2
是正定阵，则A-B
2
是可逆阵，故结论①，③，④正确，应选C．
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