问答题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α
1
=(一1，2，一1)
T
，α
2
=(0，一1，1)
T
都是齐次线性方程组AX=0的解．
(1)求A的特征值和特征向量．
(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得Q
T
AQ=A．
(3)求A及[A一(3／2)E]
6
．
【正确答案】正确答案：(1)条件说明A(1，1，1)
T
=(3，3，3)
T
，即α
0
=(1，1，1)
T
是A的特征向量，特征值为3．又α
1
，α
2
都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α
1
，α
2
线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0． 属于3的特征向量：cα
0
，c≠0． 属于0的特征向量：c
1
α
1
+c
2
α
2
c
1
，c
2
不都为0． (2)将α
0
单位化，得
对α
1
，α
2
作施密特正交化，得
作Q=(η
0
，η
1
，η
2
)，则Q是正交矩阵，并且 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=
(3)建立矩阵方程A(α
0
，α
1
，α
2
)=(3α
0
，0，0)，用初等变换法求解：
对α
1
，α
2
作施密特正交化，得
作Q=(η
0
，η
1
，η
2
)，则Q是正交矩阵，并且 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=
(3)建立矩阵方程A(α
0
，α
1
，α
2
)=(3α
0
，0，0)，用初等变换法求解：
【答案解析】