问答题
解下列微分方程：
(Ⅰ) y"一7y'+12y=x满足初始条件y(0)=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)对应齐次方程的特征方程为λ
2
—7λ+12=0，它有两个互异的实根λ
1
=3与λ
2
=4，所以，其通解为
(x)=C
1
e
3x
+C
2
e
4x
，其中C
1
与C
2
是两个任意常数． 由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ax+B．代入方程可得A=
，所以，原方程的通解为y(x)=
+C
1
e
3x
+C
2
e
4x
． 代入初始条件，则得
因此所求的特解为y(x)=
(e
4x
一e
3x
)． (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C
1
cosax+C
2
sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 A=
，B=0． 所以，通解为y(x)=
cosbx+C
1
cosax+C
2
sinax，其中C
1
C
2
是两个任意常数． ②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0．B=
． 原方程的通解为y(x)=
(x)=C
1
e
3x
+C
2
e
4x
，其中C
1
与C
2
是两个任意常数． 由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ax+B．代入方程可得A=
，所以，原方程的通解为y(x)=
+C
1
e
3x
+C
2
e
4x
． 代入初始条件，则得
因此所求的特解为y(x)=
(e
4x
一e
3x
)． (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C
1
cosax+C
2
sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 A=
，B=0． 所以，通解为y(x)=
cosbx+C
1
cosax+C
2
sinax，其中C
1
C
2
是两个任意常数． ②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0．B=
． 原方程的通解为y(x)=
【答案解析】