设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f"(ξ)=3．
【正确答案】正确答案：f(x)=f(x
0
)+f"(x
0
)(x—x
0
)+
， 取x
0
=0，x=1代入， f(1)=f(0)+
f"(0)(1—0)
2
+
f""(η
1
)(1—0)
3
，η
1
∈(0，1)． ① 取x
0
=0，x=一1代入， f(一1)=f(0)+
f"(0)(-1一0)
2
+
f""(η
2
)(一1—0)
3
，η
2
∈(一1，0)． ② ①一②:f(1)一f(一1)=
[f""(η
1
)+f""(η
2
)]=1—0． ③ 因为f""(x)存[一1．1]上连续．刚存存m和M．使得
m≤f""(η
1
)≤M，m≤f""(η
2
)≤M
③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，
， 取x
0
=0，x=1代入， f(1)=f(0)+
f"(0)(1—0)
2
+
f""(η
1
)(1—0)
3
，η
1
∈(0，1)． ① 取x
0
=0，x=一1代入， f(一1)=f(0)+
f"(0)(-1一0)
2
+
f""(η
2
)(一1—0)
3
，η
2
∈(一1，0)． ② ①一②:f(1)一f(一1)=
[f""(η
1
)+f""(η
2
)]=1—0． ③ 因为f""(x)存[一1．1]上连续．刚存存m和M．使得
m≤f""(η
1
)≤M，m≤f""(η
2
)≤M
③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，
【答案解析】