解答题
设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明
(Ⅰ)f(x1，x2，…，xn)的平方项系数大于零；
(Ⅱ)|A|＞0．
举例说明上述条件(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x1，x2，…，xn)正定的充分条件．
(Ⅰ)f(x1，x2，…，xn)的平方项系数大于零；
(Ⅱ)|A|＞0．
举例说明上述条件(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x1，x2，…，xn)正定的充分条件．
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)f(x1，x2，…，xn)=XTAX正定，对任意的X≠0，均有XTAX＞0，取X=ξ1=(1，0，…，0)T，则
同理，取X=ξi=(0，…，0，1，0…，0)T，则
=aii＞0，i=1，2，…，n．
(Ⅱ)f(x1，x2，…，xn)=XTAX正定
存在可逆阵C，使得CTAC=E，A=(CT)-1C-1，|A|=|(CT)-1C-1|=|(C-1)2|=|(CT)2|＞0．或用反证法：若|A|≤0，有|A|=λ1λ2…λn≤0，则存在λ≤0，Aα=λα，αTAα=λαTα，αTα＞0且λ≤0，故αTAα≤0，f非正定．
下面举例说明(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x1，x2，…，xn)正定的充分条件：
当aii＞0，i=1，2，…，n，f可以不正定．如
a11=a22＞0，但f(1，-1)=0，f非正定．
当|A|＞0，f可以不正定．如
|A|=1＞0，但
同理，取X=ξi=(0，…，0，1，0…，0)T，则=aii＞0，i=1，2，…，n．(Ⅱ)f(x1，x2，…，xn)=XTAX正定
存在可逆阵C，使得CTAC=E，A=(CT)-1C-1，|A|=|(CT)-1C-1|=|(C-1)2|=|(CT)2|＞0．或用反证法：若|A|≤0，有|A|=λ1λ2…λn≤0，则存在λ≤0，Aα=λα，αTAα=λαTα，αTα＞0且λ≤0，故αTAα≤0，f非正定．下面举例说明(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x1，x2，…，xn)正定的充分条件：
当aii＞0，i=1，2，…，n，f可以不正定．如
a11=a22＞0，但f(1，-1)=0，f非正定．当|A|＞0，f可以不正定．如
|A|=1＞0，但