设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤e
x
一1；
(Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e
x
一1分别交于点P
2
和P
1
；
(Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P
1
P
2
之长．求函数f(x)的表达式．
【正确答案】正确答案：如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 S=∫
0
x
f(t)dt， ｜P
1
P
2
｜=e
x
一1一f(x)． 于是，函数f(x)满足方程∫
0
x
f(t)dt=e
x
一1一f(x)．
由f(x)及e
x
连续知变上限定积分∫
0
x
f(t)dt可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导并令x=0，得 f(x)=e
x
—f'(x)，f(0)=0(与题设一致) 又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y'+y=e
x
满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 f(x)=
由f(x)及e
x
连续知变上限定积分∫
0
x
f(t)dt可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导并令x=0，得 f(x)=e
x
—f'(x)，f(0)=0(与题设一致) 又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y'+y=e
x
满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 f(x)=
【答案解析】