设向量组(I):b 1 ,…,b r 能由向量组(Ⅱ):a 1 ,…,a s 线性表示为(b 1 ,…,b r )=( 1 ,…,a s )K,其中K为s×r矩阵,且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。
【正确答案】正确答案:必要性: 令B=(b 1 ,…,b R ),A=(a 1 ,…,a S ),则有B=AK,由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A),r(K)}, 结合向量组(I):b 1 ,b 2 ,…,b r ,线性无关知r(B)=r,故r(K)≥r。 又因为K为r×s阶矩阵,则有r(K)≤min{r,s}≤r。 综上所述 r≤r(K)≤r,即r(K)=r。 充分性:已知r(K)=r,向量组(Ⅱ)线性无关,r(A)=s,因此A的行最简矩阵为 ,存在可逆矩阵P使 于是有 由矩阵秩的性质
【答案解析】