解答题
8.(11年)已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0．f(x,1)=0,
f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
【正确答案】因为f(1，y)=0，f(x，1)=0．所以fy'(1，y)=0，fx'(x，1)=0。
从而
I=∫01xdx∫01yfxy"(x，y)dy=∫01x[yfx'(x,y)|y=0y=1一∫01fx'(x，y)dy]dx
=-∫01dy∫01xfx'(x,y)dx=-∫01[xf(x,y)|x=0x=1-∫01f(x,y)dx]dy
=∫01dy∫01f(x，y)dx=a．
从而
I=∫01xdx∫01yfxy"(x，y)dy=∫01x[yfx'(x,y)|y=0y=1一∫01fx'(x，y)dy]dx
=-∫01dy∫01xfx'(x,y)dx=-∫01[xf(x,y)|x=0x=1-∫01f(x,y)dx]dy
=∫01dy∫01f(x，y)dx=a．
【答案解析】