【正确答案】正确答案：对每个A _i ，取它的一个非零列向量，记作n _i (不必是A _i 的第i个列向量)． 由条件知，对每个i，A _i η _i ＝η _i ，当i≠j时，A _i η _j ＝0．即η ₁ ，η ₂ ，…，η _n 都是A _i 的特征向量，当i＝j时特征值为1，否则为0． 下面证η ₁ ，η ₂ ，…，η _n 线性无关．设c ₁ η ₁ ＋c ₂ η ₂ ＋…＋c _n η _n ＝0，用A _i 乘之，得c _i η _i ＝0，因为η _i ≠0，所以c _i ＝0，i＝1，2，…，n．这说明η ₁ ，η ₂ ，…，η _n 线性无关，从而A _i 相似于对角矩阵． 作P _i ＝(η _i ，η ₁ ，…，η _i-1 ，η _i+1 ，…，η _n )，则 P _i ^-1 A _i P _i ＝