设线性方程组（1）Ax=0的一个基础解系为α
1
=（1，1，1，0，2）
T
，α
2
=（1，1，0，1，1）
T
，α
3
=（1，0，1，1，2）
T
。线性方程组（2）Bx=0的一个基础解系为β
1
=（1，1，一1，一1，1）
T
，β
2
= （1，一1，1，一1，2）
T
，β
3
=（1，一1，一1，1，1）
T
。求
（Ⅰ）线性方程组
【正确答案】正确答案：（Ⅰ）线性方程组（1）Ax=0的通解为x=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
；线性方程组（2）Bx=0的通解为x=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
；线性方程组（3）
的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4）k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
，将其系数矩阵作初等行变换，即
则方程组（4）的一个基础解系是（一2，0，2，一1，0，1）
T
。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系ξ=一2α
1
+2α
2
=一β
1
+β
3
=（0，一2，0，2，0）
T
。所以方程组（3）的通解为 x=k（0，一1，0，1，0）
T
，其中k为任意常数。 （Ⅱ）线性方程组（3）
的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4）k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
，将其系数矩阵作初等行变换，即
则方程组（4）的一个基础解系是（一2，0，2，一1，0，1）
T
。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系ξ=一2α
1
+2α
2
=一β
1
+β
3
=（0，一2，0，2，0）
T
。所以方程组（3）的通解为 x=k（0，一1，0，1，0）
T
，其中k为任意常数。 （Ⅱ）线性方程组（3）
【答案解析】