问答题
设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为
【正确答案】正确答案：记U=2X，则由随机变量函数的概率密度计算公式得
于是Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
(z)=∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du． 由于
即f
U
(u)f
Y
(z－u)仅在D
z
={(u，z)｜0＜u＜，z－u＞0)(如图3—9的阴影部分)上取值
在uOz平面的其他部分取值均为0，所以： 当z＜0时， ∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
+∞
0du=0； 当0≤z＜2时， ∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
0
0du+∫
0
z
e
－(z－u)
du+∫
z
+∞
0du =
(1－e
－2
)； 当z≥2时， ∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
0
0du+∫
0
2
e
－(z－u)
du+∫
2
+∞
0du =
(e
2
－1)e
－z
． 由此得到
于是Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
(z)=∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du． 由于
即f
U
(u)f
Y
(z－u)仅在D
z
={(u，z)｜0＜u＜，z－u＞0)(如图3—9的阴影部分)上取值
在uOz平面的其他部分取值均为0，所以： 当z＜0时， ∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
+∞
0du=0； 当0≤z＜2时， ∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
0
0du+∫
0
z
e
－(z－u)
du+∫
z
+∞
0du =
(1－e
－2
)； 当z≥2时， ∫
－∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
0
0du+∫
0
2
e
－(z－u)
du+∫
2
+∞
0du =
(e
2
－1)e
－z
． 由此得到
【答案解析】