问答题
设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和A
T
的特征向量，特征值分别为1和2．
问答题
证明β
T
α=0；
【正确答案】正确答案：条件说明Aα=α，A
T
β=2β， β
T
α=β
T
Aα=(A
T
β)
T
α=2β
T
α， 得β
T
α=0．
【答案解析】
问答题
求矩阵βα
T
的特征值；
【正确答案】正确答案：（(βα)
T
)
2
=βα
T
βα
T
=(α
T
β)βα
T
，而数α
T
β=(β
T
α) =0， 于是 ((βα）
T
)
2
=0， 从而βα
T
的特征值λ都满足λ
2
=0，即βα
T
的特征值都为0．
【答案解析】
问答题
判断βα
T
是否相似于对角矩阵(要说明理由)．
【正确答案】正确答案：βα
T
不相似于对角矩阵，可用反证法说明． 如果对角矩阵相似于βα
T
，则这个对角矩阵的对角线上的元素是βα
T
的特征值，都是0，即是零矩阵．βα
T
相似于零矩阵，也一定是零矩阵．但是α和β分别是A和A
T
的特征向量，都不是零向量，因此βα
T
不是零矩阵．
【答案解析】