【正确答案】法院应当支持甲的诉讼请求，具体分析如下： 乙银行没有及时提交房屋登记申请，房屋抵押登记并未生效，抵押权尚未设立，因此甲在2010年8月1日与丙签订的买卖合同合法有效。2010年8月10日甲和丙之间办理了过户手续，甲已经履行了买卖合同中的给付义务，作为合同的另一方，丙也应支付相应的价款。本案中，丙只支付了200万元价款，还有400万元没有支付，买受人应当履行付款义务。同时，如果本案甲和丙之间签订的是分期付款合同，按照《民法典》的规定，买受人到期未支付的价款的金额达到1/5以上的，出卖人可以要求买受人支付全部价款。

【正确答案】法院不应当支持丙的诉讼请求，具体分析如下： 虽然甲与乙银行之间存在抵押合同，但是由于乙银行在甲与丙之间签订买卖合同之前并没有提交抵押登记申请，因而房屋的抵押并未生效。既然房屋抵押并未生效那么抵押合同并不对甲与丙之间的房屋买卖合同产生实质的影响，并且基于债权相容性的特点，甲与丙之间的房屋买卖合同有效。而且，甲与丙在2010年8月10日办理了过户手续，使丙享有了房屋的所有权，履行了合同的义务。既然甲与乙银行之间的房屋抵押合同并未影响到丙的合法权益，那么就不应认为甲与丙之间的合同是无效的，因而法院不应支持丙的诉讼请求。

【正确答案】房屋不应当根据乙银行的请求办理抵押登记手续，具体分析如下： 虽然甲与乙银行之间确实存在抵押担保合同，而且合法有效，但由于乙银行未及时申请抵押登记，因而抵押并未生效。现在房屋的所有权已经转让给了丙，根据合同相对性原则，甲与乙银行之间的合同不能约束新的所有人丙，因而抵押登记部门不应为乙银行办理抵押登记。