解答题
17.设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U＝X＋Y的方差．
【正确答案】三角形区域为G＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1，χ＋y≥1}；随机变量X和Y的联合密度为
以f(u)表示U＝X＋Y的概率密度，当u＜1或u＞2时，显然f(u)＝0．
设1≤u≤2，当0≤χ≤1且0≤u－χ≤1时，f(χ，u－χ)＝2，否则f(χ，u－χ)＝0．由随机变量之和的概率密度公式，有
f(u)＝∫－∞＋∞f(χ，u－χ)dχ＝∫u-112dχ＝2(2－u)．
因此
E(X＋Y)＝E(U)＝∫－∞＋∞uf(u)du＝2∫12u(2－u)du＝
，
E(X＋Y)＝E(U*)＝∫－∞＋∞u2f(u)du＝2∫12u2(2－u)du＝
，
D(U)＝D(X＋y)＝E(X＋Y)2－[E(X＋Y)]2
＝
以f(u)表示U＝X＋Y的概率密度，当u＜1或u＞2时，显然f(u)＝0．
设1≤u≤2，当0≤χ≤1且0≤u－χ≤1时，f(χ，u－χ)＝2，否则f(χ，u－χ)＝0．由随机变量之和的概率密度公式，有
f(u)＝∫－∞＋∞f(χ，u－χ)dχ＝∫u-112dχ＝2(2－u)．
因此
E(X＋Y)＝E(U)＝∫－∞＋∞uf(u)du＝2∫12u(2－u)du＝
，E(X＋Y)＝E(U*)＝∫－∞＋∞u2f(u)du＝2∫12u2(2－u)du＝
，D(U)＝D(X＋y)＝E(X＋Y)2－[E(X＋Y)]2
＝
【答案解析】