解答题
4.(2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：aχ＋2by＋3c＝0，l2：bχ＋2cy＋3a＝0，l3：cχ＋2ay＋3b＝0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．
l1：aχ＋2by＋3c＝0，l2：bχ＋2cy＋3a＝0，l3：cχ＋2ay＋3b＝0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．
【正确答案】必要性：设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组
有惟一解，故其系数矩阵A＝
与增广矩阵
的秩均为2，于是有
＝0．
由于
＝6(a＋b＋c)[a2＋b2＋c2－ab－ac－bc]
＝3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
及(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(否则a＝b＝c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a＋b＋c＝0．
充分性：若a＋b＋c＝0，则由必要性的证明知
＝0，故秩(
)＜3，又系数矩阵A中有一个二阶子式
故秩(A)＝2，于是有秩(A)＝秩(
有惟一解，故其系数矩阵A＝
与增广矩阵的秩均为2，于是有＝0．由于
＝6(a＋b＋c)[a2＋b2＋c2－ab－ac－bc]
＝3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
及(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(否则a＝b＝c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a＋b＋c＝0．
充分性：若a＋b＋c＝0，则由必要性的证明知
＝0，故秩()＜3，又系数矩阵A中有一个二阶子式故秩(A)＝2，于是有秩(A)＝秩(
【答案解析】