解答题
19.设函数f(χ)(χ≥0)可微，且f(χ)＞0．将曲线y＝f(χ)，χ＝1，χ＝a(a＞1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为
[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝
[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝
【正确答案】(1)由题设知π∫1af2(χ)dχ＝
[a2－f(a)－f(1)]，两边对a求导，得
3f2(a)＝2af(a)＋a2
，
令
，
即f(a)＝
，由f(1)＝
，得c＝－1，所以f(χ)＝
．
(2)因为f′(χ)＝
，
令f′(χ)＝0，得χ＝
，
又因为f〞(
)＜0，所以
[a2－f(a)－f(1)]，两边对a求导，得3f2(a)＝2af(a)＋a2
，令
，即f(a)＝
，由f(1)＝，得c＝－1，所以f(χ)＝．(2)因为f′(χ)＝
，令f′(χ)＝0，得χ＝
，又因为f〞(
)＜0，所以【答案解析】