选择题 3.[2011年] 设A=[α₁，α₂，α₃，α₄]是四阶矩阵，A^*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]^T是方程组AX=0的一个基础解系，则A^*X=0的基础解系可为( )．

A、 α₁，α₃
B、 α₁，α₂
C、 α₁，α₂，α₃
D、 α₂，α₃，α₄

【正确答案】 D

【答案解析】因AX=0的基础解系只含一个解向量[1，0，1，0]^T，故n一秩（A）=4-秩（A）=1，即秩（A）=3．因而秩(A^*)=1．于是A^*X=0的一个基础解系必含n一秩(A^T)=4—1=3个解向量．这就排除了A、B选项．
因秩（A）=3，故｜A｜=0，所以A^TA=｜A｜E=O．又因秩（A）=3，故A的向量组中含有A^*X=0的基础解系．
又因[1，0，1，0]^T为AX=(α₁，α₂，α₃，α₄)X=0的解向量，故[α₁，α₂，α₃，α₄][1，0，1，0]^T=α₁+α₃=0，即α₁与α₃线性相关，从而排除了C，仅D入选．