【正确答案】正确答案：题中所给的D是一个以摆线一拱x＝a(t－sin t)，y＝a(1－cos t)，0≤t≤2π，a>0为上边界，x轴为下边界，从x＝0到x＝2πa的曲边梯形．取竖条，其面积微元为ydx，它对y轴的面积矩为sydx，所以D对y轴的面积矩为∫ ₀ ^2πa xydx． (*) 现在按此公式求M _y ． 将摆线表达式代入式(*)，可以看出将积分变量由x换成t，得 M _y ﹦∫ ₀ ^2πa xydx﹦∫ ₀ ^2π a ³ (t﹣sin t)(1﹣cos t) ² dt ﹦a ³ ∫ ₀ ^2π t(1﹣cos t) ² dt﹣a ³ ∫ ₀ ^2π sin t·(1﹣cos t) ² dt a ³ I ₁ ﹣a ³ I ₂ ． 其中I ₁ ﹦∫ ₀ ^2π t(1﹣cos t) ² dt，I ₂ ﹦∫ ₀ ^2π sin t(1﹣cos t) ² dt． 采用一个巧妙的办法计算I ₁ ，令t﹦2π﹣u，则 I ₁ ﹦∫ _2π ⁰ （2π﹣u）(1﹣cos u） ² (﹣du) ﹦∫ ₀ ^2π 2π(1﹣cos u） ² (du)﹣∫ ₀ ^2π u(1﹣cos u） ² du， 故2I ₁ ﹦∫ ₀ ^2π 2π(1﹣cos u） ² du， I ₁ ﹦π∫ ₀ ^2π (1﹣cos u） ² du﹦4π∫ ₀ ^2π du ﹦4π∫ ₀ ^2π sin ⁴ du 8π∫ ₀ ^π sin ⁴ θdθ ﹦16π sin ⁴ θdθ﹦16π ﹦3π ² ． I ₂ ﹦π∫ ₀ ^2π sin t(1﹣cos t） ² dt＝