解答题
设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f'(x)+f(x)一
问答题
12.求导数f'(x)；
【正确答案】由题设知
(x+1)f'(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。
上式两边对x求导，得
(x+1)f'(x)=一(x+2)f'(x)，
即有
两边积分，得
ln｜f'(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，
所以
在题设等式中令x=0，得f'(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f'(0)=一1，代入f'(x)的表达式，得C=一1，故有
(x+1)f'(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。
上式两边对x求导，得
(x+1)f'(x)=一(x+2)f'(x)，
即有
两边积分，得
ln｜f'(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，
所以
在题设等式中令x=0，得f'(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f'(0)=一1，代入f'(x)的表达式，得C=一1，故有
【答案解析】
问答题
13.证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。
【正确答案】由上题中结果知，当x≥0时，f'(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。
设φ(x)=f(x)一e—x，则
φ(0)=0，φ'(x)=f'(x)+e—x=
设φ(x)=f(x)一e—x，则
φ(0)=0，φ'(x)=f'(x)+e—x=
【答案解析】