问答题
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。
(Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最小值，并求最小值点(x1，x2，x3)；
(Ⅲ)如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值。
(Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最小值，并求最小值点(x1，x2，x3)；
(Ⅲ)如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值。
【正确答案】二次型f的矩阵
由λ=-2是A的特征值，
，得到a=6。
由矩阵A的特征多项式
得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=7，λ3=-2。
对λ=7，解齐次方程组(7E-A)x=0得基础解系α1=(1，-2，0)T，α2=(1，0，-1)T
对λ=-2，解齐次方程组(-2E-A)x=0得基础解系α3=(2，1，2)T。
因为α1，α2不正交，故需Schmidt正交化，有
再单位化，
，则在正交变换x=Qy下，
有xTAx=yTAy=7y12+7y22-2y32。
(Ⅱ)条件x12+x22+x32=1，即xTx=1，而xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy，
可知f在条件x12+x22+x32=1的极小值，即f在条件y12+y22+y32=1下的极小值。
由于f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=7y12+7y22-2y32≥-2(y12+y22+y32)，
由λ=-2是A的特征值，
，得到a=6。由矩阵A的特征多项式
得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=7，λ3=-2。
对λ=7，解齐次方程组(7E-A)x=0得基础解系α1=(1，-2，0)T，α2=(1，0，-1)T
对λ=-2，解齐次方程组(-2E-A)x=0得基础解系α3=(2，1，2)T。
因为α1，α2不正交，故需Schmidt正交化，有
再单位化，
，则在正交变换x=Qy下，有xTAx=yTAy=7y12+7y22-2y32。
(Ⅱ)条件x12+x22+x32=1，即xTx=1，而xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy，
可知f在条件x12+x22+x32=1的极小值，即f在条件y12+y22+y32=1下的极小值。
由于f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=7y12+7y22-2y32≥-2(y12+y22+y32)，
【答案解析】[考点] 二次型